考虑最简单的一维随机游动,即对象每个单位时间等概率地向左或向右走一个单位(在以后的分析中,我们有时会假设股票的价格服从这样的运动，上涨或下跌某一个幅度).设对象每隔Ot时间等概率地向左或向右走一步,步长为Or,在初始时刻处于原点位置,那么若X,表示对象第i步时的方向,则X,是随机变量;若第i步向右,则记X,= 1,否则X,=-1.再记X(!)表示时刻t的位置,显然当t=△1时,X(O1)= XOx.一般地,有X(l) = Or(X.+..+ X(vx1).
在随机游动的假设下X, 之间相互独立,若P{X.= 1} = PIX.=- 1|= 1/2,则E(X;) = 0, var(X;) = E(X}) = 1.由(1.1)式可知E[X(1)]= 0, var[X(l)]= (Ox)[t/Nt].现在我们考虑Or和Ot趋于0的情况.第一种情况是:Or∞Ot,即Ox与Ot以同样的速度趋于0,再令Ot→0,则E[X(t)]=0, var[X(t)]→0,即X(t)以概率1等于0.第二种情况是: Or∞c VOi, 这样var[X(l)]→∞,这样，在很短的时间内对象可能运动到无穷远处.这两种情况都与实际不符.因此,最合理的假设是Or=c VOt或(Ox)2 =c°Ot,这时var[X(t)]→ct.由于X,是独立同分布,因此由中心极限定理可知,X(t)服从正态分布,更进一步地，服从N(0, ct).
随机过程{X(t): t≥0}称为Brown运动,如果它满足如下的条件:
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(1) X(0) = 0(如果X(0)不在原点处,这个条件可以通过平移得到);
(2)随机过程有平稳独立增量;
(3)对每个t>0, X(t)~ N(0, c*t).如果c=1,我们称为标准Brown运动,对于非标准Brown运动,我们可以通过X'(t) = [X(t)- X(0)]/c变换得到。
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