下面我们研究Brown运动的轨道(X(l)在[0, t]上的一个实现过程)性质和联合分布等概率性质.首先Brown运动的几乎每条样本轨道都是连续的.但X(t)的样本轨道不是通常我们见到的函数,而是一个几乎处处不可导的函数,其物理意义是对象在每一瞬间受到净碰撞的方向都是任意的.
下面给出Brown运动的一些概率特性.
定理在给定现在状态 X(s)的条件下,过去X(u) (0≤v<s)与将来X(s+t)(t> 0) 独立.
证明
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P(X(s+t)≤a|X(s)=x, X(v)=x, 0≤v<s)
=P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)=x, X(u)=x, 0≤r<s)
= P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)- X(u)=x-x)
= P(X(s+t)- X(s)≤a-x)= P(X(s+t)≤a|X(s)=x).证毕.
由Brown运动的定义知道,当X(0)= 0时,X(t)的密度函数可写成f,(x)=-==e-*/2.任给n个时刻0<t<t:<..<t.,√2πt记....(... ..工)为n个时刻的位置X(4), .. X(1,)的联合分布密度函数.利用Brown运动的平移不变性,我们可以得到Brown运动的联合分布密度函数.f..-. (x1，.. x,)的性质.
定理f.-. (工，...的)= f,(x)f,-,(x:-x). .... .f.,-.(x,-x,-).假定给定X(T)= B, X(0)=工o，求X(:)的条件分布(其中s< T),则X(s)的条件密度函数是
即E[X(s)1 X(T)= B]= Bs/T,var[X(s) I X(T) = B]= s(T- s)/T.不难发现,约定X(T)= B时X(s)的条件方差(s< T)不依赖于B的具体位置.若令s/T= a, 0<a< 1,则给定X(T)时X(s)的条件分布是正态的，均值为aX(T),方差为a(1-a)T.定义随机过程 {X(t), t≥0|若对一切4, ... :X(1), .，X(t,)}为多元正态分布,则称为Gauss过程.Brown运动也是一个Gauss过程,其均值和协方差函数如下:当s<t时，EX(!) = 0,cov(X(s), X(t)) = cov(X(s), X(s) + X(1)- X(s))
= cov(X(s),X(s)) + cov(X(s),X()- X(s))
= cov(X(s), X(s)) = s;
当t< s时，X(s)和X(t)的协方差为t,故cov(X(s), X(t))= min(s, t).
根据前面给定X(T)=B时Brown运动的条件分布的性质,我们来研究由Brown运动X(l)得到的特殊的过程.它在两个时刻被固定: X(0) = 0，X(1) = 0,即它是一类条件随机过程{X(t), 0≤t≤1| X(1)=0}.这类Gauss过程称为Brown桥，我们来计算它的协方差函数.对于s< 1,根据前面的结果,有E[X(s) | X(1) =0]= 0;对于s<t< 1,有
cov[X(s), X(t) | X(1) = 0]= E[X(s)X(t)| X(1)= 0]
= E[E[X(s)X(t) | X(t)= r, X(1) =0]| X(1) = 0]
= E[X(t)E[X(s) | X(t)]| X(1) =0]
= E[x(t) -X(t) | X(1)=0]=二E[X()1 X(1)=0]
= -t(1-t)= s(1-t),
同时var[X(s) I X(1)=0]= s(1-s).因此, Brown桥可定义为均值为0,协方差函数为s(1- l) (s≤1)的Gauss过程.不难看出Brown桥下的方差var[X(s) | X(1) = 0]小于Brown运动的方差var[X(s)]=s.例如，债券在持有期到了以后其价格是固定的，因此由Brown桥运动的性质可知债券的风险时时小于股票的风险.同时,债券的风险与剩余时间(1-s)正相关.这与债券风险理论中久期的性质非常相似.
定理若{X(1), t≥0}是Brown运动,则当Z(l) = X(t)-tX(1)时，{Z(t), 0≤l≤1}是Brown桥过程.证明{X(t), t≥0|显然是Gauss过程, Z(1) = 0,即{Z(t)}的末端也退化为常数.要验证的是:E[Z(t)]= 0及当s≤t时,cov[Z(s), Z(t)]= s(1-t).下面进行计算.
E[Z(t)] = EX(t)- tEX(1) = 0,
cov[Z(s), Z(t)]= cov[X(s)-sX(1), X(l)- tX(1)]
= cov[X(s), X(t)]- tcov[X(s), X(1)]
- scov[X(1), X(t)]+ stcov[X(1), X(1)] .
= s-st-st十st = s(1-t),证毕.
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