将Brown运动应用于股票价格,我们关心的另外一点是未来一段时间股价达到的最高价.我们来分析Brown运动在[0, t]的最大值maxX(s).我们可以分析maxX(s)达到某一水平a的概率分布P|maxX(s)≥a}.显然随机变量maxX(s)在[0, t]上能超过a与在[0,t]上首次达到a的概率是相同的,即P|maxX()≥al=P(T.≤1)≈Jζ°e idy.0≤≤1π JaNi故随机变量M(t) = maxX(s)的密度函数fsmo(a)为0≤≤1fmo(a)=- =exp{-a*/2t} (a≥0).√2πt
也就是说,给定任意一个希望达到的股价(或投资回报率)a,我们都可以求出未来--段时间[0, 1]内达到这个价位的可能性f(a).定义若{X(t),t≥0}是Brown运动,则由Y(t)=eXI"定义的过程{Y(t), 1≥0}称为几何Brown运动.由于X(t)是均值为0,方差为t的正态变量,我们可以得出Y(t)的分布特征为
E[Y(t)] = E[exX()]= e'r,var[Y(t)]= E[Y(t)]- E[Y(t)]* = e"-e'.在分析股票的价格行为特点时,我们假设InP,- InP,- 序列
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独立同分布，lnP,- InP1- 正好表示[t-1, t]间的连续时间收益率.
我们将[0, 1]分成n个小区间,对应的价格分别为{Po,
P, .. P,I,由P, =P Pz
P。P
得到
InP。= (InP1 - InP.)+ (InP:一lnPl)+...
+(InP,- InP_1).
由于股价在小区间内的收益率(InP,- InP-1)是独立同分布的，由中心极限定理知，lnP。是服从正态分布的.又由于序列{InP,-lnP,-1}是独立的，因此{InP. }是Brown运动,即股价序列{P,}服从几何Brown运动.例如,设一个人在将来的一个时刻T又以固定的价格K购买-股某种股票的期权,假设股票目前的价格为yo,且它的价格按照几何Brown运动变化.试计算期权在T时刻的价格的期望值.令Y(t) = vex(), X(0)= 0, X(t)服从Brown运动.因此
在这里,股价的对数序列X(1)在经过[0, T]后其期望值仍为0,这与人们对股票资产的期望回报率大于无风险利率不一-致.因此在实际中,我们常引入下面的一般化的Brown运动.定义我们说 {X(l), t≥0}是漂移系数为p的Brown运动,若
(1) X(0) = 0;
(2) {X(t), t≥0}有平稳独立增量;
(3) X(t)服从均值为pt,方差为t的正态分布.
有漂移的Brown运动可写成X(t)=μt + B(1),其中B(t)是标准Brown运动.例1.1设随 机游动过程为标准Brown运动,求在95%的概率下到达6所需的单位时间.解由公式P(T。≤a) = 2P(X(l)≥a)得
查标准正态分布表,得重(0.06)= 1-0.475, l=0.06)= 10 000，因此为了到达目标位置6,在95%概率下需要10 000个单位时间.
例1.2设随机游动过程 X(t)服从漂移为μ= 6的Brown运.动,求在95%的概率下到达6所需的单位时间.解由公式
P(T.≤a) = 2P(X(t)≥a)= -√2πtJ.dr,得，从而转化为标准正态分布,查表得t= 1.
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